Goldbach y su conjetura: cuando los pares se ponen primos

Corría el año 1742. Christian Goldbach, matemático prusiano con inquietudes muy serias, le escribe a su colega Leonhard Euler (ni más ni menos que el inventor del número e) y le suelta lo siguiente:

“Creo que todo número par mayor que 2 puede escribirse como la suma de dos primos.”

Así, sin anestesia. Cero bromas. Euler no se rió, tampoco lo refutó. Le pareció interesante, y desde entonces la conjetura ha vivido una larga vida… sin resolverse.

Imagina que alguien te dice que todos los números pares mayores que 2 se pueden escribir como la suma de dos números primos. Suena simple, ¿verdad? Tan simple que parece que no puede ser cierto, y que eres capaz de encontrar mentalmente un contraejemplo rápido que demuestre que es mentira.

Pero espera un momento.

Hablamos de números pares, esos que, salvo el 2, no son primos. Son como los números “corrientes”, los que siempre se reparten en partes iguales. Y luego están los números primos, justo lo contrario: los solitarios, los que no se pueden dividir entre nada más que ellos mismos y el 1.

Y de repente alguien dice que todos esos números pares, sin excepción, pueden formarse sumando dos de esos solitarios… es como si dijeras que cualquier canción pop puede componerse mezclando solo dos notas de jazz. 🤯

Es de esos momentos donde se te fríe el cerebro. Porque lo pruebas con el 4, con el 6, con el 10, con el 100… y funciona. Y sigues, y funciona. Y te preguntas: ¿cómo demonios es esto posible?

Pues esa misma sensación de “esto no puede ser, pero parece que sí” es la que ha traído de cabeza a generaciones enteras de matemáticos. Señoras y señores: con ustedes, la conjetura de Goldbach, el rompecabezas más elegante (y desesperante) de la teoría de números.

Un poquito de teoría

La conjetura de Goldbach dice que:

"Todo número par mayor que 2 puede escribirse como la suma de 2 números primos."

Encima solo dos, ni siquiera una secuencia compleja de primos.

Empezando por el primer valor de la conjetura, tenemos lo siguiente:

• 4 = 2 + 2
• 6 = 3 + 3
• 8 = 3 + 5
• 10 = 5 + 5 (también vale 3 + 7)
• 12 = 5 + 7
• 14 = 3 + 11
• 16 = 3 + 13 (también 5 + 11)
• 18 = 5 + 13 (o 7 + 11)
• 20 = 3 + 17 (o 7 + 13)
• 22 = 3 + 19 (o 5 + 17)
• ...
• 100 = 47 + 53
• 1000 = 3 + 97
• 25426 = 10979 + 14447

Y así sucesivamente, hasta donde las calculadoras se atreven.

¿Por qué es una conjetura y no un teorema?

Aquí viene la parte frustrante para los matemáticos: se ha comprobado por ordenador que todos los pares hasta 4 × 10¹⁸ cumplen la conjetura. Nadie ha encontrado un solo contraejemplo. Pero… no hay demostración matemática general.

Y en matemáticas, ya sabes cómo va: “lo hemos probado hasta el infinito” no vale si no lo pruebas para todos los infinitos posibles.

Esto es tan importante porque los primos son la materia prima del universo numérico. Son como los átomos de las matemáticas: todo se construye con ellos, pero entender cómo se comportan es como intentar predecir el humor de un gato.

Por eso siempre han sido protagonistas de investigaciones, demostraciones, teorías y avances tecnológicos. Y la conjetura de Goldbach toca el corazón de ese caos: la distribución de los primos. Resolverla sería como ponerle orden al desorden más puro. Una hazaña épica.

La conjetura ternaria de Goldbach

Por si Goldbach no tenía suficiente con dejarnos una de las conjeturas más resistentes de la historia, el tipo nos dejó otra más. Un bonus, un extra, un “por si acaso”: la conjetura débil de Goldbach, también conocida como la conjetura ternaria.

Esta versión dice que:

Todo número impar mayor que 5 puede escribirse como la suma de tres números primos.

Por ejemplo:

• 7 = 2 + 2 + 3
• 9 = 2 + 2 + 5
• 15 = 3 + 5 + 7
• 33 = 3 + 11 + 19

Y sí, parece menos elegante que la original, más “apañada”, pero… esta sí cayó.

En 2013, el matemático peruano Harald Helfgott se ganó un sitio en los libros al demostrarla con una mezcla de teoría analítica de números y una brutal verificación computacional. Fue un avance colosal que cerró un capítulo abierto desde el siglo XVIII.

Es una especie de “versión de entrenamiento” de la conjetura fuerte (la original), pero el hecho de haber sido probada fue un avance muy importante en el campo.

¿Por qué sigue llamándose “conjetura” si ya está demostrada?

Porque el nombre original no cambia después de ser demostrado. En matemáticas, una conjetura es una proposición que se cree que es cierta pero aún no ha sido demostrada. Cuando finalmente se demuestra, se convierte en un teorema, pero muchas veces se le sigue llamando conjetura por tradición histórica o fama.

Ejemplo clásico: La conjetura de Fermat: tras siglos sin resolver, fue finalmente demostrada por Andrew Wiles en 1994. ¿Y cómo la seguimos llamando? Pues eso, conjetura de Fermat, aunque ya es un teorema.

Con la conjetura débil de Goldbach pasa lo mismo. Desde 1742 fue conocida como una conjetura, y aunque Harald Helfgott la demostró en 2013, la comunidad matemática sigue refiriéndose a ella con el mismo nombre. Cambiarlo a “teorema ternario de Goldbach” sería técnicamente correcto, pero… nadie lo hace.

Conclusión: una idea simple, un misterio eterno

Lo fascinante de la conjetura de Goldbach no es solo que nadie haya podido demostrarla, sino que sea tan endemoniadamente simple. No necesitas saber derivadas, matrices ni integrales para entenderla. Solo tienes que saber sumar. Y sin embargo, ahí está: resistiendo a los mayores genios desde hace casi tres siglos.

Es la clase de problema que te recuerda que en matemáticas, lo simple no siempre es fácil. A veces, lo más inocente es lo más profundo. Y mientras nadie logre demostrarla (o refutarla), seguirá ahí, flotando sobre nuestras cabezas como un recordatorio de lo poco que aún entendemos del universo numérico.

Quizá mañana alguien encuentre la prueba definitiva. O quizá pasen otros 300 años. Pero mientras tanto, cada número par mayor que 2 sigue cumpliendo su parte… como si Goldbach, desde algún rincón del infinito, nos guiñara un ojo.