Goldbach e sua conjectura: quando os pares se tornam primos

O ano era 1742. Christian Goldbach , um matemático prussiano com preocupações muito sérias, escreveu ao seu colega Leonhard Euler (nada mais e nada menos que o inventor do número e ) e disse-lhe o seguinte:

“Acredito que todo número par maior que 2 pode ser escrito como a soma de dois primos.”

Assim mesmo, sem anestesia. Sem piadas. Euler não riu, nem refutou. Ele achou isso interessante, e a conjectura viveu uma longa vida desde então... sem solução.

Imagine que alguém lhe diga que todos os números pares maiores que 2 podem ser escritos como a soma de dois números primos. Parece simples, certo? Tão simples que parece impossível ser verdade, e você consegue rapidamente inventar mentalmente um contra-exemplo que prova que é mentira.

Mas espere um minuto.

Estamos falando de números pares , aqueles que, com exceção do 2, não são primos. São como números “normais”, aqueles que são sempre divididos igualmente. E então há os números primos , exatamente o oposto: os solitários, aqueles que não podem ser divididos por nada além deles mesmos e 1.

E de repente alguém diz que todos esses números pares, sem exceção, podem ser formados pela adição de dois desses números solitários... é como dizer que qualquer música pop pode ser composta misturando apenas duas notas de jazz. 🤯

É um daqueles momentos em que seu cérebro frita. Porque você tenta com o 4, com o 6, com o 10, com o 100… e funciona. E você continua, e funciona. E você se pergunta: como diabos isso é possível?

Bem, esse mesmo sentimento de "isso não pode estar certo, mas parece que sim" é o que vem deixando gerações inteiras de matemáticos loucos. Senhoras e senhores, apresentando a conjectura de Goldbach , o quebra-cabeça mais elegante (e enlouquecedor) da teoria dos números.

Um pouco de teoria

A conjectura de Goldbach afirma que:

"Todo número par maior que 2 pode ser escrito como a soma de dois números primos."

Acima de apenas dois , nem mesmo uma sequência complexa de primos.

Começando com o primeiro valor do palpite, temos o seguinte:

• 4 = 2 + 2
• 6 = 3 + 3
• 8 = 3 + 5
• 10 = 5 + 5 (também válido 3 + 7)
• 12 = 5 + 7
• 14 = 3 + 11
• 16 = 3 + 13 (também 5 + 11)
• 18 = 5 + 13 (ou 7 + 11)
• 20 = 3 + 17 (ou 7 + 13)
• 22 = 3 + 19 (ou 5 + 17)
• ...
• 100 = 47 + 53
• 1000 = 3 + 97
• 25426 = 10979 + 14447

E assim por diante, até onde as calculadoras ousam.

Por que é uma conjectura e não um teorema?

Aí vem a parte frustrante para os matemáticos: foi verificado por computador que todos os pares até 4 × 10¹⁸ satisfazem a conjectura. Ninguém encontrou um único contra-exemplo. Mas… não há nenhuma prova matemática geral .

E em matemática, você sabe como é: “nós provamos isso até o infinito” não é bom a menos que você prove isso até todos os infinitos possíveis .

Isso é muito importante porque os números primos são a matéria-prima do universo numérico. Eles são como os átomos da matemática: tudo é construído com eles, mas entender como se comportam é como tentar prever o humor de um gato.

É por isso que eles sempre foram protagonistas de pesquisas, demonstrações, teorias e avanços tecnológicos. E a conjectura de Goldbach toca no cerne desse caos: a distribuição de primos . Resolvê-lo seria como colocar ordem na mais pura desordem. Um feito épico.

Conjectura ternária de Goldbach

Como se Goldbach não estivesse farto de nos deixar uma das conjecturas mais resilientes da história, ele nos deixou outra. Um bônus, um extra, um “só por precaução”: a conjectura fraca de Goldbach , também conhecida como conjectura ternária .

Esta versão diz que:

Todo número ímpar maior que 5 pode ser escrito como a soma de três números primos.

Por exemplo:

• 7 = 2 + 2 + 3
• 9 = 2 + 2 + 5
• 15 = 3 + 5 + 7
• 33 = 3 + 11 + 19

E sim, parece menos elegante que o original, mais “prático”, mas… este realmente pegou .

Em 2013 , o matemático peruano Harald Helfgott conquistou seu lugar nos livros ao provar isso com uma mistura de teoria analítica dos números e verificação computacional brutal. Foi um avanço colossal que fechou um capítulo que estava aberto desde o século XVIII.

É uma espécie de “versão de treinamento” da conjectura forte (a original), mas o fato de ter sido comprovada foi um avanço muito importante na área.

Por que ainda é chamado de “conjectura” se já foi provado?

Porque o nome original não muda depois de comprovado . Em matemática, uma conjectura é uma proposição que se acredita ser verdadeira, mas ainda não foi provada . Quando finalmente é provado, torna-se um teorema , mas muitas vezes ainda é chamado de conjectura devido à tradição histórica ou fama.

Exemplo clássico: a conjectura de Fermat: depois de séculos sem solução, ela foi finalmente provada por Andrew Wiles em 1994. E como ainda a chamamos? Bom, é isso, a conjectura de Fermat , embora já seja um teorema .

A mesma coisa acontece com a conjectura fraca de Goldbach . Desde 1742 é conhecida como uma conjectura e, embora Harald Helfgott a tenha provado em 2013 , a comunidade matemática continua a se referir a ela pelo mesmo nome. Mudá-lo para “teorema ternário de Goldbach” seria tecnicamente correto, mas… ninguém faz isso.

Conclusão: Uma ideia simples, um mistério eterno

O fascinante sobre a conjectura de Goldbach não é apenas que ninguém foi capaz de prová-la, mas que ela é diabolicamente simples . Você não precisa saber derivadas, matrizes ou integrais para entendê-lo. Você só precisa saber adicionar. E ainda assim está lá: resistindo aos maiores gênios por quase três séculos.

É o tipo de problema que nos lembra que, em matemática, o simples nem sempre é fácil. Às vezes, o mais inocente é o mais profundo. E enquanto ninguém puder provar (ou refutar), ele permanecerá lá, flutuando acima de nossas cabeças como um lembrete de quão pouco ainda entendemos sobre o universo numérico.

Talvez amanhã alguém encontre a prova definitiva. Ou talvez outros 300 anos se passem. Mas enquanto isso, todo número par maior que 2 continua fazendo a sua parte… como se Goldbach, de algum canto do infinito, estivesse piscando para nós.