Você já se encontrou em uma festa, cercado de amigos, e de repente alguém menciona que faz aniversário no mesmo dia que você?
Surpreendente, certo? Agora imagine estar em uma sala com 23 pessoas e alguém aposta que duas pessoas do grupo compartilham o mesmo aniversário. Provavelmente você pensaria que as probabilidades são muito baixas, mas isso é um equívoco.
O que parece um fenômeno raro é, na verdade, muito mais comum do que você poderia imaginar. O paradoxo do aniversário é um desses problemas que desafia nossa intuição, mostrando que as probabilidades nem sempre são o que parecem, e é surpreendente quão pequenos precisam ser os grupos para que essa coincidência ocorra.
O que diz o paradoxo?
O paradoxo do aniversário levanta uma questão intrigante:
Quantas pessoas você precisa em uma sala para que haja uma probabilidade superior a 50% de que duas delas compartilhem o mesmo aniversário?
Intuitivamente, muitas pessoas responderiam que deveria haver mais de 183 pessoas, já que existem 365 dias no ano, e parece improvável que com menos da metade desse número alguém compartilhe um aniversário. No entanto, o paradoxo demonstra que com apenas 23 pessoas em uma sala, a probabilidade de duas delas compartilharem o mesmo aniversário é de 50%. E se você aumentar o número para 57 pessoas, a probabilidade sobe para 99%.
Esse fenômeno ocorre porque, à medida que o número de pessoas aumenta, o número de pares possíveis que podem compartilhar um aniversário cresce rapidamente. Em vez de pensar em uma pessoa comparando seu aniversário com o dos outros, estamos comparando todos os aniversários entre si, o que gera muitas mais oportunidades para uma coincidência.
O que se pretende demonstrar em um nível físico ou matemático?
Em nível matemático, o paradoxo do aniversário ilustra como o número de combinações possíveis cresce exponencialmente quando aumenta o número de elementos em um conjunto. Neste caso, o “conjunto” são os dias do ano (supondo 365 dias), e os “elementos” são as pessoas. O aumento de pessoas gera mais combinações possíveis de pares que podem compartilhar um aniversário, explicando por que a coincidência ocorre mais frequentemente do que poderíamos pensar.
O problema pode ser resolvido usando uma fórmula de probabilidade combinatória que calcula a probabilidade de que nenhuma das pessoas compartilhe um aniversário, e então subtraindo de 1 para obter a probabilidade de que pelo menos duas compartilhem o mesmo aniversário. O cálculo utiliza as seguintes ideias:
- Para a primeira pessoa, qualquer dia pode ser seu aniversário, então a probabilidade é 1.
- Para a segunda pessoa, a probabilidade de que ela não compartilhe o aniversário com a primeira é \(\frac{364}{365}\).
- Para a terceira pessoa, a probabilidade de que ela não compartilhe o aniversário com as duas primeiras é \(\frac{363}{365}\), e assim por diante.
A fórmula geral para a probabilidade de que não haja aniversários compartilhados entre n pessoas é:
\(P(\text{sem coincidência}) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \cdots \times \frac{365 - (n-1)}{365}\)
A probabilidade de que haja um aniversário compartilhado é simplesmente \(1 - P(\text{sem coincidência})\).
Quais são seus fundamentos técnicos?
Os fundamentos técnicos por trás do paradoxo do aniversário são baseados em combinatória e probabilidade condicional. A chave é entender que não estamos perguntando pela probabilidade de uma pessoa específica compartilhar seu aniversário com outra, mas pela probabilidade de que qualquer par de pessoas no grupo compartilhe aniversários. À medida que o número de pessoas aumenta, o número de pares possíveis de pessoas cresce exponencialmente, aumentando as chances de coincidência.
O número total de pares possíveis entre n pessoas é:
\(\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}\)
Ou seja, com 23 pessoas, há 253 pares possíveis que podem coincidir em aniversários, aumentando as chances de que pelo menos um par compartilhe um aniversário.
Conclusões
O paradoxo do aniversário é um exemplo brilhante de como a intuição humana pode falhar quando se trata de probabilidades. Embora inicialmente pareça improvável que duas pessoas compartilhem um aniversário em um grupo pequeno, o crescimento exponencial nas combinações possíveis faz com que as coincidências sejam muito mais comuns do que pensamos. Este fenômeno destaca a importância de usar a matemática para analisar situações em que nossas percepções podem ser enganosas.
Curiosidades sobre o paradoxo
- Embora o cálculo assuma que os aniversários são distribuídos uniformemente pelos 365 dias do ano, na vida real existem certos dias que são mais comuns para nascimentos, o que faria com que a probabilidade de coincidências seja ainda maior em certos contextos.
- Este paradoxo faz parte de um fenômeno mais amplo conhecido como o problema das colisões em criptografia. No design de funções hash, por exemplo, é crucial minimizar as “colisões”, onde duas entradas diferentes produzem a mesma saída, um problema muito relacionado ao paradoxo do aniversário.
- Uma versão estendida deste paradoxo é conhecida como o “problema do aniversário”, que também inclui situações com mais de um “evento especial” por pessoa, como os dias de aniversário ou festividades familiares, aumentando as probabilidades de coincidência.
Relação do paradoxo com o mundo real
O princípio por trás do paradoxo do aniversário tem aplicações importantes em criptografia e segurança da informação. No contexto das funções hash, que são usadas em sistemas de segurança e em blockchain, existe o problema das “colisões”, onde duas entradas diferentes geram o mesmo valor hash. Este problema é análogo ao paradoxo do aniversário, pois a probabilidade de uma colisão aumenta com o número de tentativas. Portanto, os designers de sistemas de segurança devem levar em conta o paradoxo do aniversário ao criar funções hash robustas o suficiente para evitar colisões frequentes.
Além disso, em contextos sociais, como a organização de eventos, o paradoxo pode ajudar a prever quantas pessoas são necessárias para que ocorra uma coincidência de aniversários, o que pode surpreender mais de um organizador ou participante.
E acabou o artigo :(
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