¿Alguna vez te has encontrado en una fiesta, rodeado de amigos, y de repente alguien menciona que cumple años el mismo día que tú?
Sorprendente, ¿verdad? Ahora imagina estar en una habitación con 23 personas y alguien apuesta que dos personas del grupo comparten el mismo cumpleaños. Probablemente pensarías que las probabilidades son bajísimas, pero es un error.
Lo que parece un fenómeno raro es, en realidad, mucho más común de lo que podrías imaginar. La paradoja del cumpleaños es uno de esos problemas que desafía nuestra intuición, mostrándonos que las probabilidades no siempre son lo que parecen, y es sorprendente lo pequeñas que tienen que ser las multitudes para que ocurra esta coincidencia.
¿Qué dice la paradoja?
La paradoja del cumpleaños plantea una pregunta intrigante:
¿Cuántas personas necesitas en una habitación para que haya una probabilidad superior al 50% de que dos de ellas compartan el mismo cumpleaños?
Intuitivamente, muchas personas responderían que debería haber más de 183 personas, ya que hay 365 días en un año, y parece improbable que con menos de la mitad de ese número alguien comparta cumpleaños. Sin embargo, la paradoja demuestra que con solo 23 personas en una sala, la probabilidad de que dos de ellas compartan el mismo cumpleaños es de el 50%. Y si aumentas el número a 57 personas, la probabilidad se eleva a un 99%.
Este fenómeno ocurre porque al aumentar el número de personas, el número de pares posibles que pueden compartir un cumpleaños crece rápidamente. En vez de pensar en una sola persona comparando su cumpleaños con el de los demás, estamos comparando todos los cumpleaños entre sí, lo que genera muchas más oportunidades para una coincidencia.
¿Qué es lo que pretende demostrar a nivel físico o matemático?
A nivel matemático, la paradoja del cumpleaños ilustra cómo el número de combinaciones posibles crece exponencialmente cuando aumenta el número de elementos en un conjunto. En este caso, el “conjunto” son los días del año (suponiendo 365 días), y los “elementos” son las personas. El aumento de personas genera más combinaciones posibles de pares que pueden compartir un cumpleaños, lo que explica por qué la coincidencia ocurre más a menudo de lo que podríamos pensar.
El problema puede resolverse mediante una fórmula de probabilidad combinatoria que calcula la probabilidad de que ninguna de las personas comparta cumpleaños, y luego se resta de 1 para obtener la probabilidad de que al menos dos compartan el mismo cumpleaños. El cálculo utiliza las siguientes ideas:
- Para la primera persona, cualquier día puede ser su cumpleaños, así que la probabilidad es 1.
- Para la segunda persona, la probabilidad de que no comparta cumpleaños con la primera es \(\frac{364}{365}\).
- Para la tercera persona, la probabilidad de que no comparta cumpleaños con las dos primeras es \(\frac{363}{365}\), y así sucesivamente.
La fórmula general para la probabilidad de que no haya cumpleaños compartidos entre n personas es:
\(P(\text{no coincidencia}) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \cdots \times \frac{365 - (n-1)}{365}\)
La probabilidad de que sí haya un cumpleaños compartido es simplemente \(1 - P(\text{no coincidencia})\).
¿Cuáles son sus fundamentos técnicos?
Los fundamentos técnicos detrás de la paradoja del cumpleaños se basan en la combinatoria y la probabilidad condicional. La clave es entender que no estamos preguntando por la probabilidad de que una persona específica comparta su cumpleaños con otra, sino por la probabilidad de que cualquier par de personas en el grupo comparta cumpleaños. A medida que el número de personas aumenta, el número de pares posibles de personas crece exponencialmente, lo que incrementa las oportunidades de coincidencia.
El número total de pares posibles entre n personas es:
\(\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}\)
Es decir, con 23 personas, hay 253 posibles pares que pueden coincidir en cumpleaños, lo que aumenta las posibilidades de que al menos un par comparta cumpleaños.
Conclusiones
La paradoja del cumpleaños es un ejemplo brillante de cómo la intuición humana puede fallar cuando se trata de probabilidades. Aunque inicialmente parece poco probable que dos personas compartan cumpleaños en un grupo pequeño, el crecimiento exponencial en las combinaciones posibles hace que las coincidencias sean mucho más comunes de lo que pensamos. Este fenómeno evidencia la importancia de usar las matemáticas para analizar situaciones en las que nuestras percepciones pueden ser engañosas.
Curiosidades sobre la paradoja
- A pesar de que el cálculo asume que los cumpleaños se distribuyen uniformemente en los 365 días del año, en la vida real existen ciertos días del año más comunes para los nacimientos, lo que haría que la probabilidad de coincidencias sea aún mayor en ciertos contextos.
- Esta paradoja es parte de un fenómeno más amplio conocido como el problema de las colisiones en criptografía. En el diseño de funciones hash, por ejemplo, es crucial minimizar las “colisiones”, donde dos entradas diferentes producen la misma salida, un problema muy relacionado con la paradoja del cumpleaños.
- Una versión extendida de esta paradoja se conoce como el “problema del aniversario”, que también incluye situaciones con más de un “evento especial” por persona, como los días de aniversario o festividades familiares, lo que aumenta las probabilidades de coincidencia.
Relación de la paradoja con el mundo real
El principio detrás de la paradoja del cumpleaños tiene aplicaciones importantes en la criptografía y la seguridad informática. En el contexto de las funciones hash, que son utilizadas en sistemas de seguridad y en blockchain, existe el problema de las “colisiones”, donde dos entradas diferentes generan el mismo valor hash. Este problema es análogo a la paradoja del cumpleaños, ya que la probabilidad de una colisión aumenta con el número de intentos. Por eso, los diseñadores de sistemas de seguridad deben tener en cuenta la paradoja del cumpleaños al crear funciones hash lo suficientemente robustas para evitar colisiones frecuentes.
Además, en contextos sociales, como la organización de eventos, la paradoja puede ayudar a predecir cuántas personas se necesitan para que ocurra una coincidencia de cumpleaños, lo que puede sorprender a más de un organizador o asistente.
Y se acabó el artículo :(
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