Paradoxos impossíveis da física e da matemática

Um hotel com infinitos quartos, todos ocupados, recebe mais um hóspede e arruma um quarto para ele sem expulsar ninguém. Numa sala com 23 desconhecidos, a chance de duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia passa de 50 %. Um gêmeo volta de viagem mais novo que o irmão. Tudo isso parece truque de mágico de festa infantil, e tudo é verdade.

Paradoxos impossíveis é a série do Science Driven dedicada às conclusões que a cabeça se recusa a aceitar e que a matemática ou o laboratório confirmam de novo e de novo. Cada episódio pega um paradoxo famoso da física ou da matemática, conta do jeito que se conta numa roda de amigos e vai atrás do raciocínio que o sustenta, com os números, a história e o ponto exato em que a intuição tropeça.

O que torna um paradoxo impossível

Em 1962, o lógico Willard Van Orman Quine publicou na Scientific American uma classificação que continua sendo a mais útil para pôr ordem nesse terreno. Ele separou os paradoxos em três tipos. O paradoxo falsídico esconde um erro, como as falsas demonstrações de que 2 é igual a 1 ou o Aquiles de Zenão que nunca alcança a tartaruga, e se desfaz assim que a falha aparece. A antinomia, como o paradoxo do mentiroso, chega a uma contradição seguindo regras que todo mundo aceita e obriga a rever as próprias regras. O terceiro tipo é o mais incômodo. Quine o chamou de verídico, e a conclusão dele parece absurda e acaba sendo verdadeira.

É desse terceiro tipo que a série se alimenta. O Hotel de Hilbert, o aniversário compartilhado, as portas de Monty Hall e os gêmeos de Einstein são paradoxos verídicos, e as contas de todos eles fecham. Quem falha é uma intuição treinada para um mundo de quantidades finitas, velocidades de quem anda a pé e probabilidades calculadas no olho. O gato de Schrödinger é a exceção, e por isso está aqui. Ele nasceu como uma caricatura contra um jeito de interpretar a mecânica quântica, e a pergunta que levantava continua aberta quase um século depois.

Cinco paradoxos que derrubam a intuição

O gato de Schrödinger abriu a série. Em 1935, Erwin Schrödinger trancou numa caixa imaginária um gato, um átomo radioativo e um frasco de veneno para levar ao absurdo a ideia de que um sistema quântico não tem estado definido até alguém medir. Se o átomo está em superposição, o gato também está. Schrödinger propôs a cena como uma redução ao absurdo. Hoje os laboratórios produzem superposições desse tipo com íons, fótons e circuitos supercondutores, e a fronteira entre o mundo quântico e o cotidiano ainda não tem um traçado que convença todos os físicos.

O Hotel de Hilbert tem infinitos quartos e nenhuma vaga. Chega um viajante e o recepcionista pede a cada hóspede que passe para o quarto seguinte, do n para o n + 1. O quarto 1 fica livre e ninguém dorme na rua. Se chega um ônibus com infinitos passageiros, cada hóspede vai do n para o 2n e todos os quartos ímpares ficam vagos. David Hilbert contou essa história numa aula de janeiro de 1924 que nunca publicou, e o hotel só ficou famoso em 1947, com o livro One Two Three... Infinity de George Gamow, como reconstituiu o historiador Helge Kragh. No infinito, "lotado" deixa de significar o que significa em qualquer hotel de verdade.

O paradoxo do aniversário pode ser testado em qualquer escritório. Com 23 pessoas numa sala, a probabilidade de duas fazerem aniversário no mesmo dia é de 50,7 %, e com 57 passa de 99 %. O erro está em pensar no próprio aniversário. O que conta são os pares, e 23 pessoas formam 253 pares diferentes, cada um com a sua chance de coincidir. A mesma conta assombra os criptógrafos. Uma função hash de 256 bits resiste a colisões como se tivesse a metade dos bits, e o ataque que se aproveita disso se chama, não por acaso, ataque do aniversário.

O paradoxo de Monty Hall deixou centenas de doutores em saia justa. São três portas, um carro atrás de uma e cabras atrás das outras duas. O participante escolhe uma, e o apresentador, que sabe onde está o carro e sempre abre uma porta com cabra, oferece a troca. Trocar ganha duas vezes em cada três. Quando Marilyn vos Savant explicou isso na sua coluna da revista Parade em setembro de 1990, recebeu cerca de 10.000 cartas, quase mil assinadas por doutores, e a maioria garantia que ela estava errada. Ela estava certa.

O paradoxo dos gêmeos sai direto da relatividade especial que Einstein publicou em 1905. Um gêmeo viaja perto da velocidade da luz, dá meia-volta e chega mais novo que o que ficou em casa. A aparente contradição, a de que cada um vê o outro se mover, se desfaz porque só o viajante troca de referencial na volta. E o efeito já foi medido. Em outubro de 1971, Joseph Hafele e Richard Keating deram a volta ao mundo em voos comerciais com quatro relógios atômicos de césio, e os relógios voltaram defasados em relação aos de solo na medida que a relatividade previa. Os satélites de GPS corrigem todo dia cerca de 38 microssegundos de adiantamento relativístico. Sem essa correção, as posições se desviariam uns 10 km por dia.