Paradojas imposibles de la física y las matemáticas
Un hotel con infinitas habitaciones, todas ocupadas, recibe a un viajero más y le da cuarto sin echar a nadie. En una sala con 23 desconocidos hay más de un 50 % de probabilidades de que dos cumplan años el mismo día. Un gemelo vuelve de un viaje y es más joven que su hermano. Todo suena a truco de feria, y todo es cierto.
Paradojas imposibles es la serie de Science Driven dedicada a las conclusiones que la cabeza se niega a aceptar y que la matemática o el laboratorio confirman una y otra vez. Cada entrega toma una paradoja famosa de la física o de las matemáticas, la plantea tal como se cuenta en una sobremesa y la sigue hasta el razonamiento que la sostiene, con sus números, su historia y el punto exacto donde la intuición tropieza.
Qué hace imposible a una paradoja
En 1962, el lógico Willard Van Orman Quine publicó en Scientific American una clasificación que sigue siendo la más útil para poner orden en este terreno. Distinguió tres clases. La paradoja falsídica esconde un error, como las falsas demostraciones de que 2 es igual a 1 o el Aquiles de Zenón incapaz de alcanzar a la tortuga, y se desactiva en cuanto aparece el fallo. La antinomia, como la del mentiroso, llega a una contradicción siguiendo reglas aceptadas por todos y obliga a revisar las propias reglas. La tercera es la más incómoda. Quine la llamó verídica, y su conclusión parece absurda y resulta verdadera.
De esa tercera clase vive esta serie. El Hotel de Hilbert, el cumpleaños compartido, las puertas de Monty Hall y los gemelos de Einstein son paradojas verídicas, y las cuentas de todas ellas cuadran. Lo que falla es una intuición entrenada para un mundo de cantidades finitas, velocidades de a pie y probabilidades calculadas a ojo. El gato de Schrödinger es la excepción, y por eso está aquí. Nació como una caricatura contra una manera de entender la mecánica cuántica, y la pregunta que planteaba sigue abierta casi un siglo después.
Cinco paradojas que tumban a la intuición
El gato de Schrödinger abrió la serie. En 1935, Erwin Schrödinger encerró en una caja imaginaria un gato, un átomo radiactivo y un frasco de veneno para llevar al absurdo la idea de que un sistema cuántico no tiene un estado definido hasta que alguien lo mide. Si el átomo está en superposición, el gato también. Schrödinger lo planteó como una reducción al absurdo. Hoy los laboratorios preparan superposiciones de ese tipo con iones, fotones y circuitos superconductores, y la frontera entre el mundo cuántico y el cotidiano todavía no tiene un trazado que convenza a todos los físicos.
El Hotel de Hilbert tiene infinitas habitaciones y ninguna libre. Llega un viajero y el recepcionista pide a cada huésped que se mude a la habitación siguiente, de la n a la n + 1. La primera queda vacía y nadie duerme en la calle. Si llega un autobús con infinitos pasajeros, cada huésped pasa de la n a la 2n y se liberan todas las impares. David Hilbert contó la historia en una lección de enero de 1924 que nunca publicó, y el hotel se hizo famoso en 1947 con el libro One Two Three... Infinity de George Gamow, según reconstruyó el historiador Helge Kragh. En el infinito, "completo" deja de significar lo que significa en cualquier hotel de verdad.
La paradoja del cumpleaños se puede comprobar en cualquier oficina. Con 23 personas en una sala, la probabilidad de que dos cumplan años el mismo día es del 50,7 %, y con 57 pasa del 99 %. El error está en pensar en el propio cumpleaños. Lo que cuenta son las parejas, y 23 personas forman 253 parejas distintas, cada una con su oportunidad de coincidir. El mismo cálculo persigue a los criptógrafos. Una función hash de 256 bits resiste las colisiones como si tuviera la mitad de bits, y el ataque que lo aprovecha se llama, precisamente, ataque de cumpleaños.
La paradoja de Monty Hall dejó en evidencia a cientos de doctores. Hay tres puertas, un coche detrás de una y cabras detrás de las otras dos. El concursante elige una, y el presentador, que sabe dónde está el coche y siempre abre una puerta con cabra, le ofrece cambiar. Cambiar gana dos de cada tres veces. Cuando Marilyn vos Savant lo explicó en su columna de la revista Parade en septiembre de 1990, recibió unas 10.000 cartas, cerca de mil firmadas por doctores, y la mayoría le aseguraba que se equivocaba. La razón la tenía ella.
La paradoja de los gemelos sale de la relatividad especial que Einstein publicó en 1905. Un gemelo viaja a una velocidad cercana a la de la luz, da la vuelta y regresa más joven que el que se quedó en casa. La aparente contradicción, que cada uno ve moverse al otro, se deshace porque solo el viajero cambia de sistema de referencia al dar la vuelta. Y el efecto se ha medido. En octubre de 1971, Joseph Hafele y Richard Keating dieron la vuelta al mundo en aviones comerciales con cuatro relojes atómicos de cesio, y los relojes volvieron desfasados respecto a los de tierra en la cantidad que predecía la relatividad. Los satélites GPS corrigen cada día unos 38 microsegundos de adelanto relativista. Sin esa corrección, las posiciones se desviarían unos 10 km al día.
